By H. Jacquet, R. P. Langlands

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Zunächst einmal ist klar, dass die reellen Zahlen in C, also diejenigen der Form x + i · 0, genau die auf der horizontalen Achse sind. Der Betrag |z| einer komplexen Zahl ist nach Definition genau der Abstand des Punktes z vom Ursprung, und die komplexe Konjugation entspricht einer Spiegelung an der reellen Achse (wie im Bild unten links). Ebenso offensichtlich ist, dass zwei komplexe Zahlen genau so addiert werden, wie ihr in der Schule Vektoren im R2 addiert habt, also indem man die Verbindungsstrecken vom Ursprung zu z1 und z2 wie im folgenden Bild rechts zu einem Parallelogramm zusammensetzt: Im Im z = x + iy z1 + z2 |z| y z2 Re x z1 z = x − iy Re Die Multiplikation dagegen ist schon interessanter.

18. Es sei K ein geordneter Körper und M = {x ∈ K : x2 < 2} ⊂ K. Natürlich besitzt M eine obere Schranke, z. B. 2: für x > 2 ist nämlich x2 > 4 > 2, also x ∈ / M. Wir wollen nun sehen, was die kleinste obere Schranke, also das Supremum von M ist. 3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper 37 (a) Für K = R können als das offene √ wir√M unter Verwendung von Quadratwurzeln natürlich √ Intervall M = (− 2, 2) schreiben. 14 (b). 19 auch noch formal beweisen werden). Man könnte nun denken, dass man statt 2 dann einfach die „nächstgrößere oder nächstkleinere“ rationale Zahl nehmen muss.

Xk ∈ D verschieden sind, a1 , . . , ak ∈ N>0 gilt, und g eine Polynomfunktion ohne Nullstellen in D ist. In dieser Darstellung nennt man ai für i = 1, . . , k die Vielfachheit bzw. Multiplizität der Nullstelle xi . Beweis. 24 (a). Für die Eindeutigkeit bemerken wir zunächst, dass die x1 , . . 8 (d) natürlich genau die Nullstellen von f in D sein müssen und damit bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind. Wir zeigen die Eindeutigkeit nun mit Induktion über n = deg f . Der Induktionsanfang für n = 0 ist dabei trivial, denn dann hat f keine Nullstellen, und es ist zwangsläufig k = 0 und g = f .

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